Sonntag, 9. Juni 2013

Übers Integrieren

1.
Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation und dient zur Berechnung von Flächen. Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden. Das unbestimmte Integral einer Funktion ordnet dieser eine Menge von Funktionen zu, deren Elemente Stammfunktionen genannt werden. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ihre ersten Ableitungen mit der Funktion, die integriert wurde, übereinstimmen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass (bestimmte) Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können.


Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckenderAlgorithmus.

Anschauliche Darstellung des Integrals als Flächeninhalt S unter einer Kurve der Funktion f im Integrationsbereich von a bisb.



Es gibt eine Reihe von Verfahren, mit denen bestimmte und uneigentliche Integrale exakt in symbolischer Form berechnet werden können.

Falls zu eine Stammfunktion bekannt ist, lässt sich das bestimmte Integral
 \int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b)-F(a)

durch den Hauptsatz berechnen. Oft ist es möglich, unter Ausnutzung der speziellen Form des Integranden die Stammfunktion zu bestimmen.

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, bei einem bekannten Integral zu beginnen und dieses durch Integrationstechniken solange umzuformen, bis das gewünschte Integral entsteht. Beispiel:

Um zu bestimmen, integrieren wir das folgende ähnliche Integral partiell:
\begin{align}
\arctan x &= \int 1\cdot\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm dx\\
  &= x\cdot\frac{1}{1+x^2} + \int x\cdot\frac{2x}{(1+x^2)^2}\,\mathrm dx \\
  &= \frac{x}{1+x^2} + \int\left(\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}+\frac{2}{(1+x^2)^2}\right)\,\mathrm dx - \int\frac{2}{(1+x^2)^2}\,\mathrm dx \\
  &= \frac{x}{1+x^2} + 2\int\frac{1+x^2}{(1+x^2)^2}\,\mathrm dx - 2\int\frac{1}{(1+x^2)^2}\,\mathrm dx \\
  &= \frac{x}{1+x^2} + 2\arctan x - 2\int\frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^2}.
\end{align}
Durch Umstellen folgt
\int\frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^2} = \frac12\left(\frac{x}{1+x^2} + \arctan x\right). *

2.
Heute haben sich 25 afghanische Asylwerber aus Grimmenstein** um sieben Uhr morgens in den Zug gesetzt, und sind nach Hainburg gefahren. Dort haben sie gemeinsam mit anderen Freiwilligen Anrainern geholfen, ihre von der Flutkatastrophe verdreckten und teils zerstörten Häuser wieder sauber zu bekommen, und haben dabei geschuftet wie die sprichwörtlichen "Viecher".

Organisiert wurde der Hilfseinsatz, an dem die Afghanen teilnahmen, vom Team Österreich.

Auf die Frage, warum sie das machen, antwortete einer der Männer lakonisch: "Es ist unsere Pflicht zu helfen, wenn es anderen Menschen schlechter geht als uns."

Damit sollte zu diesem Thema alles gesagt sein.





* aus Wikipedia - "Integralrechnung"
** in meinem Tweet vom Nachmittag hab ich geschrieben, dass die Männer aus Traiskirchen kommen. Der Rot-Kreuz-Helfer, der mir diese Auskunft gab, benutzte "Traiskirchen" als Synonym für Asylwerber im allgemeinen. Die Strecke zwischen Grimmenstein und Hainburg beträgt mit dem Auto 122 Kilometer, mit öffentlichen Verkehrsmitteln ist man in etwa drei Stunden unterwegs.





Keine Kommentare:

Kommentar veröffentlichen